Correlação de Pearson

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Paulo Barros

PPZ - UESB - GACOM

Nesta sessão vamos estudar como descrever e testar a significância das relações entre duas variáveis. Veremos uma introdução a correlação linear, variáveis independentes e dependentes e tipos de correlação. Abordaremos como calcular o coeficiente de Correlação de Pearson e como distinguir correlação e causalidade.

1 Correlação

Uma correlação é uma relação entre duas variáveis. Os dados podem ser representados por pares ordenados (x, y), sendo x a variável independente (ou explanatória) e y a variável dependente (ou resposta). (Larson and Farber, 2023)

Um gráfico de dispersão é uma ótima ferramenta para avaliar a relação entre duas variáveis. Considere o seguinte conjunto de dados:

Dados do PIB e da quantidade de CO₂ emitida de 10 países. Adaptado de Larson and Farber (2023)
PIB (em trilhões de dólares)	Emissões de CO₂ (em milhões de toneladas métricas)
1,7	552,6
1,2	462,3
2,5	475,4
2,8	374,3
3,6	748,5
2,2	400,9
0,8	253,0
1,5	318,6
2,4	496,8
5,9	1.180,6

dados_pib_co2 <- tibble(
  PIB = c(1.7, 1.2, 2.5, 2.8, 3.6, 2.2, 0.8, 1.5, 2.4, 5.9),
  CO2 = c(552.6, 462.3, 475.4, 374.3, 748.5, 400.9, 253.0, 318.6, 496.8, 1180.6)
)

library(ggtext)

ggplot(dados_pib_co2,
       aes(x = PIB, y = CO2)) +
  geom_point(shape = 21, size =4, fill = "grey70", color = "black")+
  theme_bw(base_size = 14, base_family = "Ubuntu") +
  scale_x_continuous(breaks = 1:6) +
  scale_y_continuous(breaks = seq(0,1200,by = 200))+
  labs(title = "Relação entre PIB e a quantidade de CO2 emitida,
       para amostra com 10 países.",
       x = "PIB <br> (em trilhões de dólares)",
       y = "CO<sub>2</sub> <br> (em milhões de toneladas métricas)") +
  theme(axis.title = element_markdown())

Podemos observar no gráfico uma tendência. As emissões de CO₂ parecem aumentar com o aumento do PIB.

Mas não podemos garantir que a relação entre as variáveis exista simplesmente por uma inspeção visual. Para tanto precisamos de um coeficiente de correlação que nos forneça a informação da força e direção da correlação entre estas variáveis.

O coeficiente de correlação é uma medida da força e da direção de uma relação linear entre duas variáveis. O símbolo \(r\) representa o coeficiente de correlação amostral. (Larson and Farber, 2023)

\[r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}} \] O coeficiente de correlação de Pearson foi proposto por Karl Pearson no final do século XIX como uma medida estatística da força e direção da relação linear entre duas variáveis quantitativas. O coeficiente, geralmente representado por \(r\), varia entre -1 e 1, onde valores próximos a 1 indicam uma correlação positiva forte, valores próximos a -1 indicam uma correlação negativa forte e valores próximos a 0 indicam ausência de correlação linear. A proposta de Pearson representou um avanço importante na estatística, ao permitir quantificar relações entre variáveis de forma objetiva e padronizada, sendo amplamente utilizada até os dias atuais em diversas áreas do conhecimento.

Tipos de Correlação
Adaptado de Larson and Farber (2023)

Premissas da Correlação de Pearson:

As amostras devem ser independentes e pareadas (i.e., as duas variáveis devem ser medidas na mesma unidade amostral)
As unidades amostrais são selecionadas aleatoriamente
A relação entre as variáveis tem que ser linear

2 Calculando \(r\)

Mais uma vez usaremos dados do ecodados de (Da Silva et al., 2022).

Neste exemplo, avaliaremos a correlação entre a altura do tronco e o tamanho da raiz medidos em 35 indivíduos de uma espécie vegetal arbustiva.

arbustos <- ecodados::correlacao

arbustos |> glimpse()

Rows: 35
Columns: 2
$ Tamanho_raiz   <dbl> 10.177049, 6.622634, 7.773629, 11.055257, 4.487274, 11.…
$ Tamanho_tronco <dbl> 19.54383, 17.13558, 19.50681, 21.57085, 13.22763, 21.62…

Utilizaremos a função cor.test() explicitando que queremos o coeficiente de Pearson no argumento method="pearson".

cor.test(arbustos$Tamanho_raiz,
         arbustos$Tamanho_tronco,
         method = "pearson")


    Pearson's product-moment correlation

data:  arbustos$Tamanho_raiz and arbustos$Tamanho_tronco
t = 11.49, df = 33, p-value = 4.474e-13
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 0.7995083 0.9457816
sample estimates:
      cor 
0.8944449

A hipótese nula do teste é a de que as variáveis não são correlacionadas, ou seja, \(H_0: r = 0\). Olhando nosso resultado, uma vez que nosso \(p-value = 4.474e-13\), rejeitamos \(H_0\), nossas variáveis são positivamente e fortemente correlacionadas dado o valor de \(r = 0.8944449\). Podemos comunicar nossos resultados com um gráfico de dispersão.

arbustos <- ecodados::correlacao

ggplot(data = arbustos, aes(x = Tamanho_raiz,
y = Tamanho_tronco)) +
labs(x = "Tamanho da raiz (m)", y = "Altura do tronco (m)") +
  geom_smooth(method = lm, se = FALSE, color = "#3e5c76",
linetype = "solid", linewidth=0.7) +
geom_point(size = 4, shape = 21, fill = "#dc2f02", alpha = 0.8) +
annotate("text",
         x = 14, y = 14,
         label = "r = 0.89, P < 0.001",
         color = "black", size = 5,
         family = "Ubuntu") +

theme_classic(base_size = 14, base_family = "Ubuntu") +
theme(legend.position = "none")

Listing 1: Reta de Regressão

`geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'

Figure 1: Adaptado de Da Silva *et al.* (2022)

Importante

A linha de tendência tracejada no gráfico é apenas para ilustrar a relação positiva entre as variáveis. Ela não é gerada pela análise de correlação, e sim por uma regressão linear que veremos em outra sessão.

References

DA SILVA, F. R. et al. Análises ecológicas no r. [s.l.] Clube de Autores, 2022.

LARSON, R.; FARBER, B. Estatı́stica aplicada: Retratando o mundo. [s.l.] Bookman Editora, 2023.